кандидат физико-математических наук;
candidate of physical and mathematical sciences;
Статья посвящена исследованию прикладной модели из области робототехники, которая математически формализуется как вырожденная задача оптимального управления с разрывными траекториями. Инструментом исследования являются необходимые условия оптимальности первого порядка в форме обобщенного принципа максимума и условия Келли. Целью исследования является анализ вырожденной задачи оптимального управления движением робота-манипулятора с двумя звеньями и тремя степенями свободы. Задача характеризуется линейной зависимостью динамики робота от управляющих воздействий, что исключает возможность применения классического принципа максимума Понтрягина и требует перехода к теории импульсного управления. В качестве объекта исследования выступает робот-манипулятор с двумя звеньями, одно из которых переменной длины (телескопическое). Его кинетическая энергия описывается вырожденной квадратичной формой скоростей. Уравнения движения выводятся из уравнений Лагранжа и приводятся к аффинной по управлению системе дифференциальных уравнений. Последняя представляет собой так называемую систему с дефицитом управления, поскольку число степеней свободы в ней превосходит число управляющих воздействий. Для качественного анализа задачи применяются методы теории оптимального импульсного управления в форме принципа максимума для обобщенных импульсных процессов и траекторий ограниченной вариации. В ходе проведенного исследования модели получен синтез нелинейного закона импульсного управления роботом-манипулятором с учетом энергосбережения. Кроме того, доказано, что структура этого управления характеризуется наличием двух импульсов. Полученное решение задачи в классе импульсных процессов демонстрирует, что для достижения предельного быстродействия в системах с дефицитом управления характерно скачкообразное изменение скоростей. Результаты работы могут найти применение при проектировании энергоэффективных алгоритмов управления быстродействующими промышленными роботами и медицинскими манипуляторами.
This article examines an applied model in the field of robotics, which is mathematically formalized as a degenerate optimal control problem with discontinuous trajectories. The analysis relies on first-order optimality conditions in the form of the generalized maximum principle and the Kelly conditions. The aim of the study is to analyze a degenerate optimal control problem for the motion of a two-link robotic manipulator with three degrees of freedom. The problem is characterized by a linear dependence of the robot’s dynamics on control inputs, which precludes the application of the classical Pontryagin maximum principle and requires a transition to impulse control theory. The object of study is a two-link manipulator robot, one of whose links is of variable length (telescopic). Its kinetic energy is described by a degenerate quadratic form of velocities. The equations of motion are derived from the Lagrangian equations and reduced to an affine system of differential equations with respect to control. The latter constitutes a so-called undercontrolled system, since the number of degrees of freedom in it exceeds the number of control inputs. For a qualitative analysis of the problem, methods of optimal impulse control theory are applied in the form of the maximum principle for generalized impulse processes and trajectories of limited variation. In the course of the study of the model, a synthesis of a nonlinear impulse control law for a robotic manipulator was obtained, taking energy conservation into account. Furthermore, it is proven that the structure of this control is characterized by the presence of two impulses. The solution obtained for the problem in the class of impulse processes demonstrates that, to achieve maximum speed in systems with a control deficit, a step-like change in velocities is characteristic. The results of this work can be applied in the design of energy-efficient control algorithms for high-speed industrial robots and medical manipulators.