Herald of Technological University Herald of Technological University ВЕСТНИК ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 3034-4689 98683 10.55421/3034-4689_2025_28_3_111 3. Информатика, вычислительная техника и управление 3. Information teory, computer technology and control 3. Информатика, вычислительная техника и управление SOME NUMERICAL PROPERTIES OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD USING FUNDAMENTAL SOLUTIONS IN A HALF-PLANE IN A TWO-DIMENSIONAL FORMULATION НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СВОЙСТВА МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В ПОЛУПЛОСКОСТИ В ДВУМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ Сагдатуллин М К Sagdatullin M K ssmarat@mail.ru Гумерова Х С Гумерова Х С tmsm@kstu.ru Казанский национальный исследовательский технологический университет ru Kazan National Research Technological University ru КНИТУ ru КНИТУ ru 01 08 2025 01 08 2025 28 3 111 114 https://elibrary.ru/item.asp?id=80528742

При численном анализе задач теории упругости методом граничных элементов, широко используемое в настоящее время, граничное интегральное уравнение формулируется с использованием фундаментального решения Кельвина в бесконечном пространстве. Однако для многих практических задач, где объекты полубесконечного или конечного размера, фундаментальное решение в полуплоскости также может использоваться вместо фундаментального решения Кельвина. В модели фундаментального решения полуплоскости, мы видим, как точка нагружения, так и точка наблюдения определяются относительно свободной поверхности полуплоскости, так что фундаментальное решение полуплоскости определяется не только расстоянием между двумя точками, но и их относительным положением относительно поверхности. Таким образом, можно исследовать различные численные свойства метода граничных элементов, основанных на фундаментальном решении полуплоскости, по сравнению с решениями, основанными на фундаментальном решении Кельвина. В данной статье изучаются некоторые численные свойства фундаментального решения в полуплоскости при анализе двумерных объектов конечных размеров. Из приведенного в работе численного анализа и примеров мы видим, что фундаментальное решение в полуплоскости может удовлетворительно использоваться и с меньшим количеством элементов для численного анализа двумерных задач конечного размера. Кроме того, отмечаются следующие интересные численные свойства по сравнению с фундаментальным решением Кельвина: в отличие от двумерного решения Кельвина, фундаментальное решение в полуплоскости дает «направленный» эффект рассчитанной деформации. При этом следует уделить внимание расположению оси симметрии деформированного состояния объектов (если таковая имеется), параллельной оси симметрии полуплоскости модели, погрешность численных результатов увеличивается по мере увеличения расстояния объекта от поверхности модели полуплоскости, что также делает невозможным использование фундаментального решения. Поэтому лучше располагать объект как можно ближе к поверхности модели полуплоскости. Наконец, следует также отметить, что приведенные выше численные свойства решений с использованием фундаментального решения в полуплоскости оказались верными в случае использования любых элементов более высокого порядка, хотя представленные здесь данные получены только с использованием постоянных элементов.

In the numerical analysis of elasticity problems by the boundary element method, the boundary integral equation, which is widely used at present, is formulated using the Kelvin fundamental solution in infinite space. However, for many practical problems where the objects are of semi-infinite or finite size, the half-plane fundamental solution can also be used instead of the Kelvin fundamental solution. In the half-plane fundamental solution model, we see that both the loading point and the observation point are defined relative to the free surface of the half-plane, so that the half-plane fundamental solution is determined not only by the distance between the two points, but also by their relative position with respect to the surface. Thus, it is possible to investigate the different numerical properties of the boundary element method based on the half-plane fundamental solution compared to solutions based on the Kelvin fundamental solution. In this paper, some numerical properties of the half-plane fundamental solution in the analysis of two-dimensional objects of finite size are studied. From the numerical analysis and examples presented in the paper, we see that the fundamental half-plane solution can be used satisfactorily even with a smaller number of elements for the numerical analysis of two-dimensional finite-size problems. In addition, the following interesting numerical properties are noted in comparison with the fundamental Kelvin solution: in contrast to the two-dimensional Kelvin solution, the fundamental half-plane solution gives a "directional" effect of the calculated deformation. In this case, attention should be paid to the location of the symmetry axis of the deformed state of the objects (if any), parallel to the symmetry axis of the half-plane of the model, the error of the numerical results increases with the increase in the distance of the object from the surface of the half-plane model, which also makes it impossible to use the fundamental solution. Therefore, it is better to place the object as close as possible to the surface of the half-plane model. Finally, it should also be noted that the above numerical properties of the solutions using the fundamental half-plane solution turned out to be correct in the case of using any higher-order elements, although the data presented here were obtained only using constant elements.

 МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАДАЧА КЕЛЬВИНА НАПРЯЖЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ BOUNDARY ELEMENT METHOD KELVIN PROBLEM STRESS STRAIN