В данной работе приведено исследование порядка сходимости и вычислительной эффективности различных разностных схем для численного решения одномерного уравнения Аллена-Кана, используемого в методе фазового поля для моделирования диффузионной границы раздела фаз. Уравнение Аллена-Кана учитывает действие энергии градиента и потенциала двойной ямы при фазовом переходе со стабильными состояниями фаз, равными 0 и 1. Начальное условие для фазового поля имитирует ступенчатый профиль раздела фаз без области перехода. Для решения уравнения используется метод конечных разностей с применением таких разностных схем, как явная, неявная, полунеявная, классическая схема Кранка-Николсона и стабилизированная схема Кранка-Николсона. Для решения уравнений применялись методы прогонки и Ньютона. При численном решении поставленной задачи наблюдается формирование диффузионной границы раздела фаз со сглаживанием начального профиля фазового поля. Определены практические порядки сходимости по времени и по пространству для каждой схемы, совпадающие с теоретическими порядками аппроксимации. Максимальные значения L1-нормы ошибки составили порядка 10-5 по времени и 10-4 по пространству для самых крупных сеток. Наилучшее сочетание сходимости, точности и быстродействия продемонстрировала стабилизированная схема Кранка-Николсона. Исследовано влияние стабилизирующего параметра на точность решения по стабилизированной схеме Кранка-Николсона. Наибольшее соответствие эталонному решению было получено при значениях стабилизирующего параметра, находящихся в диапазоне от 0,5 до 1. Полученные результаты позволяют обоснованно проводить выбор разностной схемы для решения задач фазового поля с учетом требований к точности и вычислительным ресурсам, в частности, при моделировании быстропротекающих процессов кристаллизации.
This paper presents a study of the convergence order and computational efficiency of various difference schemes for the numerical solution of the one-dimensional Allen-Cahn equation used in the phase field method for modeling the diffusive interface. The Allen-Cahn equation takes into account the effect of the gradient energy and the double well potential during a phase transition with stable phase states of 0 and 1. The initial condition for the phase field simulates a stepwise phase separation profile without a transition region. To solve the equation, the finite difference method is used using such difference schemes as explicit, implicit, semi-implicit, classical Crank-Nicholson scheme and the stabilized Crank-Nicholson scheme. The run-through method and Newton's method were used to solve the equations. With the numerical solution of the problem, the formation of a diffusion interface is observed with smoothing of the initial phase field profile. The practical convergence orders in time and space for each scheme are determined, which coincide with the theoretical approximation orders. The maximum values of the L1 error rate were about 10-5 in time and 10-4 in space for the largest grids. The best combination of convergence, accuracy, and performance was demonstrated by the stabilized Crank-Nicholson scheme. The effect of the stabilizing parameter on the accuracy of the solution according to the stabilized Crank-Nicholson scheme is investigated. The highest compliance with the reference solution was obtained with the values of the stabilizing parameter in the range from 0,5 to 1. The results obtained make it possible to reasonably select a difference scheme for solving phase field problems, taking into account the requirements for accuracy and computing resources, in particular, when modeling fast-flowing crystallization processes.