ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕНА-КАНА

Орлова Мария Сергеевна; Горунов Андрей Игоревич

doi:doi:10.55421/3034-4689_2026_29_6_119

Главная / Журналы / ВЕСТНИК ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА / Том 29 Номер 6 / ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕНА-КАНА

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕНА-КАНА

Отправить рукопись Скачать PDF
Текст

Цитировать

Цитирований:

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕНА-КАНА

Журнал: ВЕСТНИК ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 29 № 6 , 2026

Рубрики: 3. ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

Орлова Мария Сергеевна ¹

Горунов Андрей Игоревич ²

Информация об авторах и публикации

Авторы:

1. КНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева (Кафедра Лазерных и аддитивных технологий, Ассистент)
аспирант с 01.01.2023 по настоящее время

Республика Татарстан, Россия

2. Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева (Кафедра лазерных и аддитивных технологий, Профессор)
сотрудник

Тип:

Статья

DOI:

https://doi.org/10.55421/3034-4689_2026_29_6_119

EDN:

https://elibrary.ru/FXUKXG

Страницы:

с 119 по 124

Статус:

Опубликован

Получено:

06.05.2026

Одобрено:

31.05.2026

Опубликовано:

02.07.2026

Язык материала:

русский

Ключевые слова:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МЕТОД ФАЗОВОГО ПОЛЯ, УРАВНЕНИЕ АЛЛЕНА-КАНА, МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ, ПОРЯДОК СХОДИМОСТИ

Аннотация и ключевые слова

Аннотация:
В данной работе приведено исследование порядка сходимости и вычислительной эффективности различных разностных схем для численного решения одномерного уравнения Аллена-Кана, используемого в методе фазового поля для моделирования диффузионной границы раздела фаз. Уравнение Аллена-Кана учитывает действие энергии градиента и потенциала двойной ямы при фазовом переходе со стабильными состояниями фаз, равными 0 и 1. Начальное условие для фазового поля имитирует ступенчатый профиль раздела фаз без области перехода. Для решения уравнения используется метод конечных разностей с применением таких разностных схем, как явная, неявная, полунеявная, классическая схема Кранка-Николсона и стабилизированная схема Кранка-Николсона. Для решения уравнений применялись методы прогонки и Ньютона. При численном решении поставленной задачи наблюдается формирование диффузионной границы раздела фаз со сглаживанием начального профиля фазового поля. Определены практические порядки сходимости по времени и по пространству для каждой схемы, совпадающие с теоретическими порядками аппроксимации. Максимальные значения L1-нормы ошибки составили порядка 10-5 по времени и 10-4 по пространству для самых крупных сеток. Наилучшее сочетание сходимости, точности и быстродействия продемонстрировала стабилизированная схема Кранка-Николсона. Исследовано влияние стабилизирующего параметра на точность решения по стабилизированной схеме Кранка-Николсона. Наибольшее соответствие эталонному решению было получено при значениях стабилизирующего параметра, находящихся в диапазоне от 0,5 до 1. Полученные результаты позволяют обоснованно проводить выбор разностной схемы для решения задач фазового поля с учетом требований к точности и вычислительным ресурсам, в частности, при моделировании быстропротекающих процессов кристаллизации.

Ключевые слова:
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МЕТОД ФАЗОВОГО ПОЛЯ, УРАВНЕНИЕ АЛЛЕНА-КАНА, МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ, ПОРЯДОК СХОДИМОСТИ

Текст

Текст (PDF): Читать Скачать

Список литературы

1. S. Muhammad, Y. Li, I. Muhammad, S. Peng, Z. Zhang, Braz. J. Phys., 56, 144 (2026). DOI:https://doi.org/10.1007/s13538-026-02067-x.

2. I.T. Tandogan, M. Budnitzki, S. Sandfeld, J. Mech. Phys. Solids, 206, 106325 (2026). DOI:https://doi.org/10.1016/j.jmps.2025.106325.

3. D. Tourret, A. Karma, Acta Mater., 61, 17, 6474-6491 (2013). DOI:https://doi.org/10.1016/j.actamat.2013.07.026.

4. J. Pei, W. Chen, W. Zhang, H. Hou, Y. Zhao, J. Mater. Res. Technol., 27, 5615-5628 (2023). DOI:https://doi.org/10.1016/j.jmrt.2023.11.012.

5. X.X. Yao, X. Gao, Z. Zhang, J. Mater. Res. Technol., 20, 934-949 (2022). DOI:https://doi.org/10.1016/j.jmrt.2022.07.101.

6. Y. Takahashi, S. Sakane, T. Takaki, Comput. Mater. Sci., 261, 114265 (2026). DOI:https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2025.114265.

7. H. Xiang, J. Chen, Mater. Today Commun., 47, 113206 (2025). DOI:https://doi.org/10.1016/j.mtcomm.2025.113206.

8. A.F. Chadwick, P.W. Voorhees, Acta Mater., 211, 116862 (2021). DOI:https://doi.org/10.1016/j.actamat.2021.116862.

9. A.F. Chadwick, J.G.S. Macías, A. Samaei, G.J. Wagner, M.V. Upadhyay, P.W. Voorhees, Acta Mater., 282, 120482 (2025). DOI:https://doi.org/10.1016/j.actamat.2024.120482.

10. T. Takaki, ISIJ Int., 54, 2, 437-444 (2014). DOI:https://doi.org/10.2355/isijinternational.54.437.

11. Y. Song, M. Wang, J. Bai, J. Jin, P. Yang, Y. Zong, G. Qin, Trans. Nonferr. Met. Soc. China., 34, 4, 1110-1122 (2024). DOI:https://doi.org/10.1016/S1003-6326(23)66457-X.

12. R. Liu, K. Li, G. Zhou, W. Tang, Y. Shen, D. Tang, D. Li, Trans. Nonferr. Met. Soc. China., 32, 12, 3873-3886 (2022). DOI:https://doi.org/10.1016/S1003-6326(22)66064-3.

13. S. Liang, C. Wei, H. Jiang, X.-P. Zhang, JOM (2026). DOI:https://doi.org/10.1007/s11837-026-08207-7.

14. Y. Rezaei, M. Jafari, M. Jamshidian, Comput. Mater. Sci., 200, 110786 (2021). DOI:https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2021.110786.

15. S. Liang, A. Kunwar, C. Wei, C. Ke, Scr. Mater., 203, 114071 (2021). DOIhttps://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2021.114071.

16. M.S. Orlova, A.I. Gorunov, Lett. Mater., 14, 1, 79-84 (2024). DOI:https://doi.org/10.48612/letters/2024-1-79-84.

17. O. Abramova, D. Nugmanov, D. Schneider, A. Prahs, T. Mittnacht, J. Ivanisenko, B. Baretzky, B. Nestler, Comput. Mater. Sci., 248, 113553 (2025). DOI:https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2024.113553.

18. D. Choudhuri, L. Blake, J. Mater. Sci., 56, 7474-7493 (2021). DOI:https://doi.org/10.1007/s10853-021-05802-8.

19. D.I. Prokhorov, Y.V. Bazaikin, V.V. Lisitsa, Numeric. Methods and Program., 23, 2, 75-94 (2022). DOI:https://doi.org/10.26089/NumMet.v23r206.

20. Д.И. Прохоров, Я.В. Базайкин, В.В. Лисица, Интерэкспо Гео-Сибирь, 2, 2, 202-208 (2022). DOI:https://doi.org/10.33764/2618-981X-2022-2-2-202-208.

21. Н.А. Семененко, Т.Г. Еленина, Е.Б. Савенков, Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 86, 1-24 (2024). DOI:https://doi.org/10.20948/prepr-2024-86.

22. Д.И. Прохоров, Я.В. Базайкин, В.В. Лисица, Интерэкспо Гео-Сибирь, 2, 3, 262-269 (2023). DOI:https://doi.org/10.33764/2618-981X-2023-2-3-262-269.

23. D. Wick, T. Wick, R.J. Hellmig, H.-J. Christ, Comput. Mater. Sci., 109, 367-379 (2015). DOI:https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2015.07.034.

24. L. Greco, J. Kiendl, M. Negri, A. Patton, A. Reali, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 449, 118513 (2026). DOI:https://doi.org/10.1016/j.cma.2025.118513.

25. E.V. Zipunova, A.A. Kuleshov, E.B. Savenkov, Appl. Industr. Math., 18, 3, 612-630 (2024). DOI:https://doi.org/10.1134/S1990478924030207.

26. S.B. Bulent, Programming Phase-Field Modeling, Springer International Publishing, 2018, P. 3-5. DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-319-41196-5.

27. C. Roberts, J. Marian, J. Mater. Res. Technol., 28, 3641-3654 (2024). DOI:https://doi.org/10.1016/j.jmrt.2023.12.222.

28. X. Liu, Z.W. Yang, Y.M. Zeng, CAMWA, 144, 264-273 (2023). DOI:https://doi.org/10.1016/j.camwa.2023.06.018.

29. N. Jiang, M. Kubacki, W. Layton, M. Moraiti, H. Tran, J. Comput. Appl. Math., 281, 263-276 (2015). DOI:https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.09.026.

30. D. Hou, H. Liu, L. Ju, CAMWA, 191, 86-104 (2025). DOI:https://doi.org/10.1016/j.camwa.2025.04.021.

31. G.V. Krivovichev, R.V. Pukhalenko, Numeric. Methods and Program., 27, 2, 119-134 (2026). DOI:https://doi.org/10.26089/NumMet.v27r209.

Отправить рукопись Скачать PDF
Текст JATS XML

Цитировать

Цитирований:

Подтверждение

Регистрация